Андрей Швальбе Есть вопросы? Свяжитесь со мной.

werbung portfel

Светлый фон

Расчет рыночной доходности

 

Формула расчета рыночной доходности

Наряду с расчетом абсолютной, максимальной и относительной просадки, о которых я писал здесь, полезно будет понимать данные доходностей, полученных на фондовом рынке. Напомню, что банковский депозит с учетом капитализации возрастает не линейно, а по экспоненте — сначала плавно, а затем все быстрее и быстрее. Аналогичный эффект дает инвестирование на фондовом рынке, в частности в акции и облигации — та линейность, которая часто указывается на долгосрочных графиках, вызвана использованием логарифмической шкалы, чтобы лучше приспособить масштаб:

 

dohodnost-aktsij-zolota-obligatsij-dollara

 

Вообще говоря, в сети нетрудно найти калькулятор сложного процента — но подойдет он отнюдь не для каждой задачи и поскольку содержит формулу расчета в закрытом виде, то не дает понимания о сути расчета. Непонимание работы с рыночными данными способно привести к ошибкам даже в самых простых случаях.

Например, в первый год стоимость произвольно выбранного актива увеличилась на 100%, а во второй год уменьшилась на 50%. Что будет с общей доходностью? Она будет считаться не как среднее арифметическое (+ 25%) — а исходя из того, что в первый год она выросла в два раза, а во второй год в два раза упала. Следовательно, в сумме за два года оставшись на прежнем уровне. Из этого, кстати, следует очень важное правило: чем больше просадка, тем большая доходность требуется, чтобы ее отыграть. К примеру, если стоимость актива за год уменьшилась на 75% (осталось только 25% начальной цены), то требуется доходность в целых 400%, чтобы достичь первоначального уровня. Именно поэтому агрессивные стратегии не живут долго — математическое ожидание даже при большей вероятности прибыли, чем убытка все равно со временем уничтожит депозит.

В общем случае формула доходности выглядит так:

 

A(n) = A(n-1) * (1 + X) = A(0) * (1 + X)^n     или     X = (A(2)/A(0))^(1/n) – 1

 

  • A(0) – исходное количество денег,

  • А(n) – количество денег через n лет,

  • X – годовая доходность (в процентах)

 

Если же взять изменение за год в разах (Y) (т.е. мы рассматриваем изменение на 10% как рост в 1,1 раза, Y = 1,1), то

 

A(n) = A(n-1) * Y = A(0) * Y^n

 

Задача

Актив растет на 10% в год. Какова будет его доходность через 2 года?

Можно искать калькулятор сложного процента, а можно сказать, что Y = 1.1, число лет n = 2. Тогда взяв исходное количество денег за условную единицу

 

А(2) = 1 * 1.1² = 1.21, т.е. актив вырастет на 21% (из 1000 рублей будет 1210)

 

Обратная задача

Найти среднюю годовую доходность при росте актива на 21% в течение двух лет (понятно, что она может расти неравномерно — мы же найдем среднюю величину):

 

Y = ((A(2)/A(0))^(1/n)

 

Снова принимая нашу первоначальную доходность за условную единицу, считаем:

 

Y = (1.21/1)½ = 1.1, т.е. средняя доходность равна 10%

 

Задача 2

За четыре года банковский вклад с ежегодной капитализацией прибыли вырос от 100.000 рублей до 150.000 рублей. Какова средняя доходность в годовом исчислении?

 

Y = (150.000/100.000)^(1/4) = 1.10668, т.е. средняя годовая доходность равна 10.67%

 

Соответственно, просто разделив 50% на 4 мы получили бы среднеарифметическую доходность 12.5%, что неверно. Эта разница и есть преимущество сложного процента: без него доходность каждый год начислялась бы на 100.000 рублей — т.е. каждый год мы получали бы 12.500, что за четыре года и даст ровно 50.000. Однако при ежегодной капитализации мы добиваемся того же результата уже с меньшим процентом (10.67%).

 

Задача 3

За 2 года и 6 месяцев стоимость пая в инвестиционном фонде выросла на 42,7%. Какова среднегодовая доходность фонда?

2 года и 6 месяцев это 2.5 года (n = 2.5), а Y = 1.427. Тогда

 

Y = (1.427/1)^(1/2.5) = 1.1528, т.е. средняя годовая доходность равна 15.28%

 

Если за «n» обозначить количество месяцев (n = 30), то теперь можно вычислить и среднемесячную доходность (1.427^(1/30) = 1.0119 или 1.19%. При этом среднеарифметическая доходность была бы 42.7/30 = 1.4233%). В случае банковских депозитов если капитализация происходит ежемесячно, то считать надо в месяцах, если ежегодно — то в годах.

 

Задача 4

Значение индекса ММВБ на конец декабря 1997 года – 85,05 пунктов. Значение индекса ММВБ на конец 2007 года – 1888,86 пунктов. Какова среднегодовая доходность индекса ММВБ за 10 лет?

 

Y = (A(2)/A(0))^(1/n) = (1888,86/85,05)^(1/10) = 1.3635 или 36.35%

 

Задача 5

Ниже дана российская инфляция за 2000-2007 годы. Нужно рассчитать среднегодовую.

 

2000 г. – 20,2%
2001 г. – 18,6%
2002 г. – 15,1%
2003 г. – 12,0%
2004 г. – 11,7%
2005 г. – 10,9%
2006 г. – 9,0%
2007 г. – 11,9%

 

Это как раз случай, хорошо приближенный к реальности — доходность фондового рынка можно смотреть как по разнице пунктов за выбранный промежуток времени, так и считать (или брать из справочника) по годам. Тогда общий рост потребительской корзины:

 

1,202 * 1,186 * 1,151 * 1,120 * 1,117 * 1,109 * 1,090 * 1,119 = 2,777 раза (или на 177%)

 

И средняя инфляция

 

Y = (A(2)/A(0))^(1/n) =2.777^(1/8) = 1.1362 или 13.62%

 

P.S. Задача аналогично может быть использована для расчета среднегодовой доходности активов, которая за год бывает отрицательной. В этом случае коэффициент берется меньше 1, например при доходности минус 10% в год коэффициент равен 0.9.

 

Задача 6

Расчет доходности акций с учетом дивидендов и курсового роста стоимости. Пусть была куплена акция одной компании за 120 рублей. Спустя какое-то время по ней получены дивиденды 7.2 рубля, а котировки выросли до 135 рублей — после чего акцию продали. Рассчитать полученный доход.

 

Y = (7,2 + (135-120))/120*100% = 18,5%

 

Задача 7

По данным предыдущего примера рассчитать доходность в процентах годовых, если на момент продажи акции (достижения ее стоимости 135 рублей) прошло 250 дней:

 

Y = (7,2 + (135-120))/120 * 365/250 * 100% = 27,01%

 

 

P.S. Использовано много информации из статьи http://fintraining.livejournal.com/776005.html. Сокращены математические выкладки и варианты с Excel, добавлено пару пояснений и задач.

 

Поделиться в соцсетях

Return to Top ▲Return to Top ▲ Яндекс.Метрика